Das Zahnflankenspiel verursacht das Singen der Zahnräder nicht.
Es ist der sog. "Drehfehler" zwischen den Zahnrädern. D.h. die Übersetzung ist nicht konstant, sondern schwankt um den eigentlichen Mittelwert. Nicht viel, aber ein paar µrad von Zahn zu Zahn. Daher wird im Zahneingriff eine eine sog. "Weganregung" verursacht, d.h. die Zahnräder werden im Eingriff mal beschleunigt, mal verzögert. Dazu sind Kräfte nötig, die zusätzlich zwischen den Zahnflanken entstehen und als "dynamische Zahnkräfte" bezeichnet werden. Diese (Zusatz-)Kräfte werden im Achsgetriebe an alle möglichen Bauteile weitergeleitet, die dann in Schwingung versetzt werden. Diese Schwingung wird dann über unterschiedliche Wege zum Fahrerohr weitergeleitet, wobei die letzte Übertragsstrecke immer Luftschall ist.
Der "Drehfehler" zwischen den Zahnrädern ist leider unvermeidbar. Die Zahnflanken müssen "ballig" geschliffen (oder geläppt) sein, damit auch unter hoher Last und entsprechender Verformung im Getriebe die Zahnflanken keine zu hohen Beanspruchungen abbekommen. Kegelradgetriebe sind mit großen Balligkeiten auszuführen (im Vergleich zu den Stirnrädern im Schaltgetriebe), da sie eine hohe Last und eine relativ ungünstige Lagerung des Ritzels aufweisen (müssen).
Bei ca. 80 bis 120 km/h hört man die 1. Ordnung des Zahneingriffs dann besonders schön, weil man Frequenzen im Bereich ca. 300-500 Hz anregt.
Ritzel und Rad sollen von Werk aus so eingstellt sein, dass sie einerseits relativ mittig zueinander ausgerichtet sind, andererseit einen möglichst niedrigen Drehfehler erzeugen. Manche Achsgetriebe werden mit hohem Aufwand gefertigt und Ritzel und Rad werden durch axiales Verschieben und Messung des (Körper-)schalls so lang axial zueinander verschoben, bis die Anregung ein Minimum erreicht. Diese Einstellung wird dann mittels angepasster Scheiben in das Achsgetriebe übertragen.
Nun kann man die axiale Position im Getriebe natürlich auch manuell verändern und hoffen, dass man ein glückliches Händchen hat und eine akustisch bessere Position von Ritzel und Rad erreicht.
(Ich bin mir nicht sicher, aber ich glaube im E86 wurde noch das alte Gleason-5-Schnitt-Verfahren zur Herstellung verwendet mit eingschränkten Optmierungsmöglichkeiten des Zahneingriffs. Daher sind die Getriebe von Haus aus lauter als moderne Achsgetriebe.)
Aber das Verstellen ist natürlich manuell ein Lotteriespiel mit sehr geringen Chancen auf Gewinn. Stattdessen läuft man Gefahr, dass Ritzel und Rad so ungünstig positioniert werden, dass die Tragfähigkeit der Verzahnung deutlich verloren geht, da nun die Verformungen bei hohen Lasten zu Pressungsspitzen auf den Zahnflanken führen, was die Verzahnung dann entweder Fressschäden oder Grübchenausbrüche erleiden lässt.
Das axiale Verschieben von Ritzel zu Rad verändert das Zahnflankenspiel. Man muss ein gewissen Zahnspiel einhalten (ca. 0,1...0,2mm), damit man sicher gehen kann, dass bei ungünstiger Verformung nicht beide Flankenseiten anliegen. Sonst geht die Verzahnung durch die Blindkräfte schnell kaputt.
Meine Empfehlung: Lass das Achsgetriebe singen. Das wird man nicht maßgebend verändern können (sonst hätten die das bei BMW natürlich auch gemacht). Lagerschäden erzeugen auch ein Geräusch, das ist aber mehr niederfrequentes Brummen. Kaputte Lager wird man irgendwann tauschen müssen aber auch wollen.
.
Praktisch keine Möglichkeiten. Die Steifigkeiten der Gummilager maßgebend zu verändern ist sicher nicht zielführend...